在信號分析與處理中，頻譜分析是重要的工具。FFT（Fast Fourier Transform，快速傅立葉變換）可以將時(shí)域信號轉(zhuǎn)換至頻域，以獲得信號的頻率結(jié)構(gòu)、幅度、相位等信息。該算法在理工科課程中都有介紹，眾多的儀器或軟件亦集成此功能。FFT實(shí)用且高效，相關(guān)原理與使用注意事項(xiàng)也值得好好學(xué)習(xí)。

一、何為FFT

對于模擬信號的頻譜分析，首先得使用ADC（模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器）進(jìn)行采樣，轉(zhuǎn)換為有限序列

，其非零值長度為N，經(jīng)DFT（離散傅立葉變換）即可轉(zhuǎn)化為頻域。DFT變換式為：

在上式中，N點(diǎn)序列的DFT需要進(jìn)行N2次復(fù)數(shù)乘法和

次復(fù)數(shù)加法，運(yùn)算量大。FFT是DFT的快速算法，利用DFT運(yùn)算中的對稱性與周期性，將長序列DFT分解為短序列DFT之和。最終運(yùn)算量明顯減少，使得FFT應(yīng)用更加廣泛。

FFT基于一個(gè)基本理論：任何連續(xù)的波形，都可以分解為不同頻率的正弦波形的疊加。FFT將采樣得到的原始信號，轉(zhuǎn)化此信號所包含的正弦波信號的頻率、幅度、相位，為信號分析提供一個(gè)創(chuàng)新視覺。

例如在日常生活中有使用到的AM（Amplitude Modulation，幅度調(diào)制）廣播，其原理是將人的聲音（頻率約20Hz至20kHz，稱為調(diào)制波）調(diào)制到500kHz～1500kHz正弦波上（稱為載波）中 ，載波的幅度隨調(diào)制波的幅度變化。聲音經(jīng)這樣調(diào)制后，可以傳播得更遠(yuǎn)。在AM的時(shí)域波形（波形電壓隨時(shí)間的變化曲線），載波與調(diào)制波特征不易體現(xiàn)，而在FFT后的幅頻曲線中則一目了然。如下圖為1000kHz載波、10kHz調(diào)制波的AM調(diào)制信號，時(shí)域信號經(jīng)FFT后其頻率能量出現(xiàn)在990kHz、1.01MHz頻率處，符合理論計(jì)算。

圖 1 調(diào)制波10kHz、載波1000kHz的AM時(shí)域與頻域曲線

二、FFT相關(guān)知識

現(xiàn)實(shí)生活中的模擬信號，大多都是連續(xù)復(fù)雜的，其頻譜分量十分豐富。正如在數(shù)學(xué)中常量π，其真實(shí)值是個(gè)無理數(shù)。當(dāng)用3.14來替代π時(shí)，計(jì)算值與真實(shí)值就會有偏差。在使用FFT這個(gè)工具時(shí)，受限于采樣時(shí)的頻率Fs、采樣點(diǎn)長度N、ADC的分辨率nbit等因素的制約，所得到的信息會有所缺失與混淆。

1.奈奎斯特區(qū)與波形混疊

FFT分析結(jié)果中，存在一個(gè)那奈奎斯特區(qū)的概念，其寬度為采樣率的一半Fs/2，信號頻譜被分成一個(gè)個(gè)相連的奈奎斯特區(qū)。日常信號分析中，大多關(guān)心的是1st奈奎斯特區(qū)的信號，即DC到Fs/2的頻段。FFT所得到的信號頻率信息，也是在1st奈奎斯特區(qū)內(nèi)。其他高奈奎斯特區(qū)頻段的信號，會以不同的方式混疊到1st奈奎斯特區(qū)：

偶數(shù)奈奎斯特區(qū)會鏡像后混疊到1st奈奎斯特區(qū)；

奇數(shù)奈奎斯特區(qū)會頻移后混疊到1st奈奎斯特區(qū)。

如下圖所示，假如原有模擬信號頻譜段較寬，信號頻段的最大頻率大于采樣率Fs。在采樣率Fs下，信號頻譜的A、B、C三部分區(qū)域，分別位于1st、2st、3st奈奎斯特區(qū)。那經(jīng)FFT后：

A部分信號本來就在1st奈奎斯特區(qū)，保持不變；

B部分頻譜會以Fs/2為鏡像后混疊到1st奈奎斯特區(qū)；

C部分頻譜頻偏Fs后混疊到1st奈奎斯特區(qū)。

這樣在FFT的分析結(jié)果中，1st奈奎斯特區(qū)就會重疊了A、B、C三部分區(qū)域的信號。其他奈奎斯特區(qū)頻率信號干擾到需分析的信號，就會造成常說的波形混疊問題。

就單個(gè)頻率信號而言，若原始信號的頻率為|±KFs ±Fin|(K為自然數(shù))，則經(jīng)過FFT分析后，信號會落入在1st奈奎斯特區(qū)的Fin頻率處。

圖 2 奈奎斯特區(qū)投影與波形混疊

這在時(shí)域上理解不難：在常用設(shè)備示波器的采樣率設(shè)為100MSa/s，這時(shí)輸入10MHz、90MHz、110MHz頻率的信號，采樣得到的波形是一樣的，都為10MHz。此時(shí)奈奎斯特區(qū)寬度為50MHz，信號90MHz位于2st奈奎斯特區(qū)，經(jīng)Fs/s鏡像后，為10MHz；信號110MHz位于3st奈奎斯特區(qū)，經(jīng)頻偏Fs后，亦為10MHz。在FFT后的數(shù)據(jù)中，這三個(gè)頻率信號的頻點(diǎn)都落在1st奈奎斯特區(qū)的10MHz處。

圖 3 波形混疊時(shí)的時(shí)域芯片

為了解決信號混疊問題，可以采取以下措施：

提高模數(shù)轉(zhuǎn)換器ADC的采樣率Fs

這相當(dāng)把1st奈奎斯特區(qū)拉寬。當(dāng)滿足Fs/2大于信號頻段的最大頻率Fin_max時(shí)，自然不會現(xiàn)混疊。這是采樣定理的簡單實(shí)踐。

在模數(shù)轉(zhuǎn)換器前串入抗混疊濾波器

抗混疊濾波器最常見的是低通濾波器，此濾波器可以將高于Fs/2的高階奈奎斯特區(qū)頻段信號衰減掉，只保留待測量1st奈奎斯特區(qū)頻段的信號。

2.FFT數(shù)據(jù)的物理意義

長度為N的有限序列

，經(jīng)FFT后得會到N個(gè)復(fù)數(shù)，完成了時(shí)域到頻域的涅磐。原始信號包含的各種正弦信號，會轉(zhuǎn)化成對應(yīng)位置的復(fù)數(shù)：

第一個(gè)復(fù)數(shù)，代表信號的直流分量。此復(fù)數(shù)的模值，為直流分量的N倍。

第二至第N/2個(gè)復(fù)數(shù)，代表著均勻頻率間隔信號的特征。此復(fù)數(shù)的模，為此頻率信號幅度的N/2倍；此復(fù)數(shù)的角度，為此頻率信號的相位。一個(gè)奈奎斯特區(qū)包含N/2個(gè)頻率點(diǎn)，頻率點(diǎn)的間隔稱為頻率分辨率：

對上式稍作變換：頻率分辨率的倒數(shù)，為可分析信號的周期：

NTS即采樣時(shí)間，可見FFT的頻率分辨率，與其他參數(shù)無關(guān)，只與采樣時(shí)間長度有關(guān)。

第N/2+1至第N個(gè)復(fù)數(shù)，從上文的奈奎斯特區(qū)可知，是1st奈奎斯特區(qū)的鏡像，可以忽略。

1.頻譜泄漏與窗函數(shù)

在利用FFT對ADC的動(dòng)態(tài)性能評估中，為了減少不相關(guān)因素對動(dòng)態(tài)性能的影響，測試中一般要求給ADC低噪電源、低噪時(shí)鐘，待測信號幅度盡量接近且略低于ADC的輸入量程，而待測信號的頻率Fin也有要求：

為啥頻率要這樣要求？將上式中的頻率轉(zhuǎn)換為周期就很好理解：

T_S*N即為采樣時(shí)間，采樣時(shí)間剛好包含了n個(gè)整周期的待測信號。這樣選取輸入信號頻率的原因，是FFT分析中默認(rèn)采集到的數(shù)據(jù)，是原始連續(xù)波形中的一段周期波形。既然波形是連續(xù)的，那波形肯定首尾相連的、開始點(diǎn)電壓值等于終點(diǎn)處電壓值的。

若采樣到的數(shù)據(jù)不是連續(xù)的，則相當(dāng)數(shù)據(jù)在首尾處有一個(gè)電壓突變，電壓突變在頻域上就代表著很高的頻率分量。這些高頻的頻率分量混疊到1st奈奎斯特區(qū)時(shí)，就會對原有信號的頻譜造成干擾，這也叫頻譜泄漏。

在實(shí)際的信號分析中，待測信號的頻率是很難事先設(shè)定的，這就容易會造成頻譜泄漏。為了減輕這個(gè)影響，F(xiàn)FT加入了窗函數(shù)這個(gè)概念。窗函數(shù)，其實(shí)是一個(gè)加權(quán)系數(shù)，將不同位置的采樣點(diǎn)，分別乘以不同的系數(shù)。經(jīng)過加權(quán)相乘后，采樣點(diǎn)就變成首尾相連的連續(xù)波形了。不同的窗函數(shù)，其加權(quán)曲線不一樣，造成的影響就有所差異。舉例hann窗的系數(shù)定義如下：

其N=64系數(shù)曲線與頻譜如下：

圖 4 N=64 hann窗系數(shù)曲線與頻譜曲線

圖 5 疊加窗前后的信號波形

1.頻譜圖指標(biāo)定義

將FFT得到的各個(gè)頻率點(diǎn)幅度，繪制成隨頻率變化的曲線，可以得到信號的頻譜圖。在原廠ADC的器件手冊或性能評估方案中，會有與性能相關(guān)指標(biāo)的定義。在眾多指標(biāo)中，以下幾個(gè)尤為重要：

信噪比SNR

信號均方根幅值與除前六個(gè)諧波與直流分量之外的所有頻率分量均方根和之比。在只考慮ADC的量化誤差時(shí)，SNR只與ADC的位數(shù)相關(guān)。

信納比SINAD

信號均方根振幅與出直流分量之外的所有頻譜分量均方根和之比。SINAD與SNR之間的差異只有前六個(gè)諧波分量所含的能量。

總諧波失真THD

信號均方根與前六個(gè)諧波之和的均方根值之比。諧波的產(chǎn)生是因?yàn)樾盘柦?jīng)過了非線性環(huán)節(jié)，導(dǎo)致信號產(chǎn)生畸變。

無雜散動(dòng)態(tài)范圍SFDR

信號均方根與最大雜散頻譜分量均方根值之比。SFDR可以表征信號分析的動(dòng)態(tài)范圍。

有效位數(shù)ENOB

ENOB反映了信號與正弦波的擬合程度。在FFT中可以使用公式計(jì)算：ENOB =（SINAD-1.76）/6.02。這公式是與基于ADC只有量化誤差時(shí)的計(jì)算模型，具體的推論可以參考ADI的應(yīng)用文檔MT-001《Taking the Mystery out of the Infamous Formula,"SNR = 6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care》。

圖 6  ZDS4054 Plus FFT功能分析界面

ZDS4000 FFT分析功能可以自動(dòng)計(jì)算總諧波失真THD、信噪比SNR，顯示前10次高功率信號頻率。

FFT是簡便而高效的分析工具，在眾多的軟件中都已很好的集成。在網(wǎng)絡(luò)上簡單搜索一下例程，在Matlab軟件中簡單敲入fft()，即可做信號分析。而ZLG立功科技-致遠(yuǎn)電子的高性能數(shù)據(jù)挖掘性示波器，F(xiàn)FT分析的樣本數(shù)可達(dá)4Mpts，這使得示波器可以在最高采樣率下，采樣更長時(shí)間的波形。這樣在FFT后，數(shù)據(jù)的奈奎斯特區(qū)就相當(dāng)寬，而頻率分辨率又相當(dāng)窄，非常適用信號分析與噪聲定位。

關(guān)鍵詞： 頻譜分析 FFT